ATIVIDADE 3 – MAT – ANÁLISE MATEMÁTICA – 53_2024

ATIVIDADE 3 – MAT – ANÁLISE MATEMÁTICA – 53_2024

 

QUESTÃO 1

Seja f(x) uma função contínua em um intervalo fechado [a,b]. De acordo com o Teorema do Valor Intermediário (TVI), avalie as afirmativas a seguir:

 

1. Para qualquer valor c entre f(a) e f(b), existe um único ponto c tal que f(c)=c.
2. Se f(a)≠f(b), então a função f(x) é sempre crescente ou decrescente no intervalo [a,b].

III. Para todo L entre f(a) e f(b), existe pelo menos um c em (a,b) tal que f(c) = L.

1. O Teorema do Valor Intermediário garante que a função f(x) possui um máximo ou mínimo no intervalo [a,b].

 

É correto o que se afirma em:

Alternativas

 Alternativa 1 – I, apenas.

 Alternativa 2 – III, apenas.

 Alternativa 3 – I e III, apenas.

 Alternativa 4 – I, III e IV, apenas.

 Alternativa 5 – I, II, III e IV.

 

QUESTÃO 2

Dada uma função limitada em um intervalo, a integral de Riemann fornece uma definição rigorosa da integral desta função. Além disso, a definição da integral de Riemann permite dizer quais propriedades uma função precisa ter para ser integrável.

DESTCH, Denise Trevisoli. CRAVEIRO, Irene Magalhães. KATO, Lilian Akemi. SCHULZ, Rodrigo André. RUIZ, Simone Francisco. Análise Matemática. Maringá: Unicesumar, 2020. Adaptado.

Considere uma função limitada e P uma partição do intervalo [a, b]. Em seguida, avalie as afirmativas.

 

I – Se , então, e

 

II – Dada uma partição Q do intervalo [a, b], Q refina P quando

 

III – , já que .

IV – No caso de , a soma superopr S(f,P) fornece uma aproximação excesso e a soma inferior s(f,P) uma aproximação por falta do valor de .

 

É correto o que se afirma em:

Alternativas

 Alternativa 1 – I, apenas.

 Alternativa 2 – II e IV, apenas.

 Alternativa 3 – III e IV, apenas.

 Alternativa 4 – I, III e IV, apenas.

 Alternativa 5 – I, II, III e IV.

QUESTÃO 3

Considere a função contínua f(x)=x³-3x+1 definida no intervalo [0,1].

Fonte: Elaborado pelo professor, 2024.

Utilize o Teorema do Valor Intermediário, e avalie as afirmativas a seguir.

I. Existe um ponto c em (0,1) tal que f(c)=0.
II. O Teorema do Valor Intermediário garante que a função atinge o valor f(x)=1 em pelo menos um ponto do intervalo [0,1].
III. É possível determinar a existência de c tal que f(c)=0 apenas com base no TVI.
IV. Para algum valor L entre f(0) e f(1), a função f(x) atinge f(c)=L para pelo menos um c em [0,1].

É correto o que se afirma em:

Alternativas

 Alternativa 1 – I e III, apenas.

 Alternativa 2 – I e IV, apenas.

 Alternativa 3 – I, II e IV, apenas.

 Alternativa 4 – I, III e IV, apenas.

 Alternativa 5 – I, II, III e IV.

 

QUESTÃO 4

Uma função é contínua num intervalo , se, e somente se, f for contínua em todos os pontos do intervalo.

DESTCH, Denise Trevisoli. CRAVEIRO, Irene Magalhães. KATO, Lilian Akemi. SCHULZ, Rodrigo André. RUIZ, Simone Francisco. Análise Matemática. Maringá: Unicesumar, 2020. Adaptado.

Em vista do texto acima, assinale a alternativa que apresenta corretamente a relação entre as asserções abaixo.


PORQUE

Alternativas

 Alternativa 1 – As asserções I e II são verdadeiras e a asserção II é uma justificativa correta para a asserção I.

 Alternativa 2 – As asserções I e II são verdadeiras, mas a asserção II não é uma justificativa correta para a asserção I.

 Alternativa 3 – A asserção I é verdadeira e a asserção II é falsa.

 Alternativa 4 – A asserção I é falsa e a asserção II é verdadeira.

 Alternativa 5 – As asserções I e II são falsas.

 

QUESTÃO 5

Considere a seguinte sequência numérica

 

Analise as afirmações a seguir.

 

I – A sequência xn possui termo igual a

.

 

II – A sequência xn é monótona decrescente.

 

III – A série

, formada pelos termos da sequência dada, é divergente.

 

IV – A série

, cujo termo geral é

é convergente.

 

É correto o que se diz em.

Alternativas

 Alternativa 1 – I e II, apenas.

 Alternativa 2 – I e III, apenas.

 Alternativa 3 – II e IV, apenas.

 Alternativa 4 – I, II e IV, apenas.

 Alternativa 5 – I, II, III e IV.

 

QUESTÃO 6

Sobre o limite de funções, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:

 

A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:

Alternativas

 Alternativa 1 – As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.

 Alternativa 2 – As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.

 Alternativa 3 – A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.

 Alternativa 4 – A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.

 Alternativa 5 – As asserções I e II são falsas.

 

QUESTÃO 7

Se temos o conjunto X⊂R, então o conjunto formado pelos pontos aderentes de X é denotado por .

 

Elaborado pelo professor, 2024.

 

Considerando os conjuntos A=(1,4) e B=(4,7), avalie as afirmativas a seguir:

 

É correto o que se afirma em:

Alternativas

 Alternativa 1 – I, apenas.

 Alternativa 2 – III, apenas.

 Alternativa 3 – I e II, apenas.

 Alternativa 4 – I e III, apenas.

 Alternativa 5 – I, II e III.

 

QUESTÃO 8

Em análise matemática, uma sequência é uma lista ordenada de números, e dizemos que uma sequência é convergente quando seus termos se aproximam de um valor específico conforme avançamos para termos subsequentes. As propriedades das sequências convergentes incluem certas características importantes que as distinguem de outras sequências.

Fonte: Elaborado pelo professor, 2024.

 

Com base nessas considerações, avalie as afirmativas a seguir.

 

1. Uma sequência (an) é convergente se os termos an forem sempre positivos.
2. Se uma sequência é convergente, então ela é também monótona.

III. A definição de sequência convergente implica que a sequência é limitada.

 

É correto o que se afirma em:

Alternativas

 Alternativa 1 – I, apenas.

 Alternativa 2 – III, apenas.

 Alternativa 3 – I e II, apenas.

 Alternativa 4 – I e III, apenas.

 Alternativa 5 – I, II e III.

 

QUESTÃO 9

O conjunto dos números reais, explorando a sua representação geométrica, e as diversas propriedades referentes ao mesmo conjunto, extensões das propriedades dos números racionais, é admitido como axiomas.

 

DESTCH, Denise Trevisoli. CRAVEIRO, Irene Magalhães. KATO, Lilian Akemi. SCHULZ, Rodrigo André. RUIZ, Simone Francisco. Análise Matemática. Maringá: Unicesumar, 2020. Adaptado.

 

Com base no texto acima, considere 4 e 7 elementos do conjunto dos números reais. Analise as afirmativas a seguir:

 

I – 4+7 = 7+4

II – 4⋅7 = 7⋅4

 

As afirmativas I e II estão relacionadas a:

 

Alternativas

 Alternativa 1 – Propriedade Lógica

 Alternativa 2 – Propriedade Comutativa 

 Alternativa 3 – Propriedade Associativa

 Alternativa 4 – Propriedade Demonstrativa

 Alternativa 5 – Propriedade de Soma e Produto

 

QUESTÃO 10

Embora a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral tenha apresentado diversas técnicas de derivação de funções de uma variável, alguns casos precisam ser analisados por sua definição, que é por meio de limites.

Assim, analise as afirmações a seguir e verifique a relação existente entre elas:

 

I- A função definida por é derivável no ponto x = 0, e .

 

PORQUE

 

II- Temos que

 

Assinale a alternativa que apresenta a relação correta entre as afirmações.

Alternativas

 Alternativa 1 – As afirmações I e II são verdadeiras e a afirmação II é uma justificativa correta para a afirmação I.

 Alternativa 2 – As afirmações I e II são verdadeiras e a afirmação II não é uma justificativa correta para a afirmação I.

 Alternativa 3 – A afirmação I é verdadeira e a afirmação II é falsa.

 Alternativa 4 – A afirmação I é falsa e a afirmação II é verdadeira.

 Alternativa 5 – As afirmações I e II são falsas.